The Blog

six sigma : cp / cpk
Mayıs 19th, 2013-Yalın Altı Sigma, Yalın YönetimLütfi Apilioğulları 0 Comments

Proses üretim yeteneği ( Cp ve Cpk)

Proses üretim yeteneğini ortaya koymak için yapılan proses yeterlilik analizleri sayısal olarak Cp ve Cpk indeksleri ile ifade edilmektedir. Bu indeksleri tanımlamadan önce hesaplamalarımıza temel teşkil eden normal dağılım konusunu incelememiz sağlıklı olacaktır.

Normal dağılım;

Herhangi bir prosesin çıktı sonuçlarının aşağıdaki gibi olduğunu düşünelim. Bazı değerler ortalamanın üzerinde, bazıları tam ortalamada ve bazılarında ortalamanın tam altında olduğunu görüyoruz. Yani çıktı sürekli olarak bir değişkenliğe uğramakta ve bir dağılım meydana getirmektedir.

Merkezi limit teoremine göre, örnek sayısı artıkça ve dışarıdan bir etki olmadığı müddetçe farklı dağılım özelliği taşıyan süreç çıktıları histogram üzerinde ortalama değer etrafında dağılım gösterirler. İdealde beklenen durum budur. Çünkü prosesler ideale göre tasarlanır ve tüm çıktıların ortalama değer etrafında olması beklenir.

Bu mantıkla oluşan dağılıma “Normal Dağılım”, oluşan dağılım eğrisine “Normal Dağılım Eğrisi” veya “Çan Eğrisi” adı verilir.

Normal dağılımın özellikleri;

 

 

İstatistiksel proses kontrol çalışmalarında bütün formüller normal dağılım kabulüne göre yapılmıştır. Normal dağılım hesaplamalarında kullanılan ve bilmemiz gereken  birkaç önemli parametre vardır.

Bunlarda ilki standart sapma parametresidir. Dağılımın ortalamaya olan uzaklığını belirleyen standart sapmayı hesaplamak için öncelikli olarak ortalamayı ve varyans dediğimiz parametreleri hesaplamalıyız.

 

 

 

 

 

 

Proses yeterliliği (Cp ve Cpk)

Proses değişkenliği, bugün endüstride çok önemsenen ve sürekli ölçülen, gözlemlenen bir konu haline gelmiştir. Yalında proses kararlılığının ne durumda olduğu ve nasıl bir çıktı alınacağının tahminlerini yapabilmek için iki parametreden faydalanıyoruz.

Cp ve Cpk dediğimiz bu parametreler bize prosesin genel dağılımı hakkında detaylı bilgi vermekte ve olası problemleri önceden tespit edebilmemize olanak sağlamaktadır. Bu parametreler spesifikasyon limitleri ile dağılım arasındaki ilişkiyi ortaya koyarlar.

Cp indeksi, sadece prosesin yayılımını gösteren bir parametredir. Tek başına prosesin mevcut durumu hakkında yeterli bilgiyi içermez.

Cpk ise, hem prosesteki yayılımı hem de dağılımın konumunu belirtir.

Cp= Spesifikasyon aralığı / Kontrol Limit Aralığı ya da ( Üst Spek Limiti – Alt Spek Limiti ) / 6s .

Cpk =min [ (`x  – AKL )/3s , ( ÜKL- `x  )/3s  ]

Bu konuyu biraz irdeleyelim. Örneğin bir uçağın iniş pistine inmesi konusunu ele alalım.

Pistin genişliği bize spesifikasyon sınırlarını belirtmektedir.

– Uçağın genişliliği ise bizim gerçekleşen dağılım eğrimizin band genişliğini belirtmektedir.

İyi bir iniş için olması gereken iki durum önemlidir.

Pist, uçak genişliğinden daha geniş olmalıdır.

– Uçak, piste doğru açıdan yaklaşarak pist dışına çıkmamalıdır.

 

Ohalde pist ne kadar geniş ya da uçak ne kadar dar ise piste iniş o denli güvenli olur. Burada baktığımız kriter pistin genişliği ile uçak genişliliğinin arasındaki orandır. Bu oran ne kadar büyük olur ise uçağın piste doğru iniş yapma olasılığı o denli artar. Proseslerde spek aralıklarını müşteri belirlediği için (pistin genişliğini biz değiştiremeyiz) yapılması gereken şey prosesteki değişkenliği azaltıp dağılım band genişliğini spek aralığından daha dar yapmalıyız. (Uçak genişliği daha az olmalı)

Pist genişliği uygun ancak bu sefer de iniş esnasında pozisyonumuzu iyi ayarlamamız gereklidir. Uçak tam pistin ortasına iniş yapmalıdır. Aksi durumda merkezden sağa, sola doğru kaymalarda hatalı iniş yapacak, pist dışına çıkacak ve risk oluşturacaktır. En ideal durumda uçak merkezi ile pist merkezi aynı eksendedir ve uçak pist kenarlarına eşit mesafededir. O halde uçağın iniş pozisyonunun da ayarlanması gerekmektedir.

Bu durumda, uçağın konumunun anlaşılabilmesi için uçağın kenarlara ne oranda yakın olduğunun anlaşılması gerekir.

Özet ile sağlıklı bir iniş için uçağın hem cephesi (Cp)  hemde konumu (Cpk) önemlidir.

 

Şimdi bunu güncel bir örnek ile daha ayrıntılı inceleyelim.

Müşteri spesifikasyonlarımız aşağıdaki gibi olsun.

  1. Alt spek limit: 48; Ortalama hedef: 57 ve Üst spek limit: 64 olarak tanımlansın.
  2. Şimdi gerçekleşen dağılıma göre Cp, Cpk değerlerini hesaplayalım ve sonucu yorumlayalım.
  3. Üst spek limit – Alt spek limit = 64-48 = 16 (Pistin genişliği)
  4. Gerçekleşen dağılımın s = 2, dağılımın ortalaması `x= 60 olduğunu varsayalım.

Bu duruma göre;

 

– Cp = [ Üst spek limiti – Alt spek limit ] / 6s ,  Cp = [64-48] / 12 = 1,33

 Cpk =min [ (`x  – Alt Spek Limiti )/3s , ( Üst Spek Limiti – `x  )/3s  ] ,Cpk = (60-64) / 6 = 0,66  

Şimdi bulduğunuz 0,66 Cpk değerini ne anlama geldiğine bir bakalım. (Uçak pisti ortalayamamış ve sağ taraftan biraz dışarı çıkmış)

Normal dağılım eğrisinin altında kalan alan bize tüm olasılıkların toplamını yani 1 değerini verir. Eğer gerçekleşen dağılım eğrisi her iki taraf dan da speklerin içinde olsa idi bu durum prosesin %100 güvenilir olduğunu gösterecek idi. Ancak görüldüğü üzere dağılımım bir kısmı spek dışındadır ve biz şimdi bu spek dışı kısmın alanını (hata olasılığı) bulmalıyız.

Bunu için eğrinin başından itibaren limite kadar olan alanın hesaplanması gerekir. Bu noktada karmaşık matematiksel formulleri kullanmak yerine, daha önceden hazırlanmış standart tablolardan faydalanıyoruz. Yani bulduğumuz Cpk değerini Z dediğimiz bir değere dönüştürüp, bu Z değerinin Standart Normal Dağılım tablosunda ki karşılığına baktığımız zaman bulduğumuz değer bize dağılımın merkezinden üst limite kadar olan alanı vermektedir.

Bu durumda 0,66 Cpk değerine karşılık standart normal dağılım tablosunda kullanılan Z parametresini hesaplamalıyız.

Z= (Verilen Değer – Ortalama) / Standart Sapma

Z= (ÜKL – Ortalama) / Standart Sapma ve Cpk =min [ (`x  – AKL )/3s , ( ÜKL- `x  )/3s  ], olduğuna göre;

Z=3 x Cpk olarak düşünebiliriz. Cpk=0,66 için Z=3*0,66» 2

Standart normal dağılım tablosunda Z=2’ye karşılık tablo karşılığı 0,4773 olmaktadır.  Bu değer, bize merkezden itibaren üst limit sınırına kadar olan kısmın alanını ya da olasılığını vermektedir. Dağılım eğrisinin merkezden önceki kısmı tamamen spek dahilinde olduğu için o alanın karşılığı 0,5 dir. (toplam alan 1 ve simetrik olduğu için dağılımın yarısıdır).

O halde dağılım eğrisinin spekler içinde kalan kısmı;

0,5 + 0,4773 = 0,9773, yani % 97,73 oranda ki kısım spek dâhilindedir demektir. Geri kalan kısım ise spek dahilinde olmayan RET kısımdır.

PPM karşılığı için ise 1- 0,9773 = 0,0227, ya da; 1000000x 0,0227 = 22.700 PPM anlamına gelmektedir. Bu sonuç proseste üretilen 1.000.000 adet ürün den 22.700 âdetinin hatalı olduğu anlamına gelmektedir.

Endüstride Cpk hedefi olarak 1,33 istenmektedir. Şimdi eğer Cpk 1,33 çıksaydı birde bu değerin ne anlama geldiğine bir bakalım.

 

Z=3x Cpk

Cpk=1,33 için Z=3*1,33» 4

Bu değerin Z tablosu karşılığı ise 0,4999683 olmaktadır. Dağılım eğrisinin merkezden önceki kısmı tamamen spek dahilindedir. Yani dağılım eğrisinin yarısı 0,5 olduğuna göre toplam alanımız;

 0,5 + 0.44999683 = 0,9999683 yani % 99,99683 oranında spek dahilinde demektir.

 1-0,9773=0,0000317 veya 31,7  ppm

Grafiklerde baktığımızda dağılımın konumu gereği Cpk hakkında tahminde bulunabiliyoruz. Prosesin kontrol altında olabilmesi için dağılım grafiğinin her iki ucunun da ASL ile ÜSL arasında olması gerekir. Spek içinde olan bir dağılım eğrisi alt ve üst sınır değerlerinden ne kadar uzak ise Cpk değeri o kadar yüksek demektir, dolayısıyla prosesin kontrol dışına çıkma riski o kadar düşük demektir.

 Cp ve Cpk değerlerinin her ikisi de minimum koşul olarak 1 den büyük olması gerekir. Ancak bu haliyle dağılımda yaşanacak en ufak sapmalar prosesi kontrol dışına itebilir. Uygulamada daha çok Cp ve Cpk alt sınır olarak 1.33 değeri kullanılmaktadır.

 

Leave a Reply


5 − iki =

Affiliates

Follow Me On The Web!

Join Lean Ofis | Turkey

Yalın Yönetim

Lean Ofis | Blog üyelik için

Tesekkürler